\part{代数结构}

\chapter{代数系统}

\section{二元运算及其性质}

\begin{itementry}
    二元运算:设\(S\)为集合,函数\(f:S\times S\to S\)称为\(S\)上的二元运算
\end{itementry}

\begin{itementry}
    一元运算:设\(S\)为集合,函数\(f:S\to S\)称为\(S\)上的一元运算
\end{itementry}

\begin{itementry}
    交换律:设\(\circ\)是\(S\)上的二元运算,若对任意的\(x,y\in S\),都有\(x\circ y=y\circ x\),则称运算\(\circ\)在\(S\)上交换
\end{itementry}

\begin{itementry}
    结合律:设\(\circ\)是\(S\)上的二元运算,若对任意的\(x,y,z\in S\),都有\((x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)\),则称运算\(\circ\)在\(S\)上结合
\end{itementry}

\begin{itementry}
    幂等律:设\(\circ\)是\(S\)上的二元运算,若对任意的\(x\in S\),都有\(x\circ x\),则称该运算\(\circ\)适合幂等律
\end{itementry}

\begin{itementry}
    幂等元:若\(S\)中的某些\(x\)满足\(x\circ x=x\),则称\(x\)为运算\(\circ\)的幂等元
\end{itementry}

\begin{itementry}
    分配律:设\(\circ\)和\(*\)是\(S\)上的二元运算,若对于任意的\(x,y,z\in S\)都有\(x*(y\circ z)=(x*y)\circ(x*z);(y\circ z)*x=(y*x)\circ(z*x)\),则称运算\(*\)对\(\circ\)是可分配的,或说\(*\)对\(\circ\)适合分配律
\end{itementry}

\begin{itementry}
    吸收律:设\(\circ\)和\(*\)是\(S\)上两个可交换的二元运算,若\(\forall x,y,x*(x\circ y)=x;x\circ(x*y)=x\),则称\(\circ\)和\(*\)满足吸收律
\end{itementry}

\begin{itementry}
    左单位元\&右单位元\&单位元/幺元:设\(\circ\)为\(S\)上的二元运算,若存在\(e_l\)(\(e_r\)),使得\(\forall x,e_l\circ x=x(x\circ e_r=x)\),则称\(e_l(e_r)\)是\(S\)中关于运算\(\circ\)的一个左单位元(右单位元).若\(e\)关于\(\circ\)运算既是左单位元又是右单位元,则称\(e\)为\(S\)关于运算\(\circ\)的单位元,也称幺元
\end{itementry}

\begin{itementry}
    定理:设\(\circ\)是\(S\)上的二元运算,\(e_l,e_r\)为\(\circ\)运算的左单位元和右单位元,则有\(e_l=e_r=e\),且\(e\)为\(S\)上关于运算\(\circ\)的为一单位元
\end{itementry}

\begin{itementry}
    左零元\&右零元\&零元:设\(\circ\)为\(S\)上的二元运算,若存在元素\(\theta_l\)(或\(\theta_r\)),使得\(\forall x\in S,\theta_l\circ x=\theta_l\)(或\(x\circ\theta_r=\theta_r\)),则称\(\theta_l\)(或\(\theta_r\))是\(S\)上关于\(\circ\)运算的左零元(或右零元).若\(\theta\in S\)关于\(\circ\)运算既是左零元又是右零元,则称\(\theta\)为\(S\)上关于\(\circ\)运算的零元
\end{itementry}

\begin{itementry}
    定理:设\(\circ\)为\(S\)上的二元运算,\(\theta_l,\theta_r\)分别为\(\circ\)运算的左零元和右零元,则有\(\theta_l=\theta_r=\theta\),且\(\theta\)是\(S\)上关于\(\circ\)运算的唯一的零元
\end{itementry}

\begin{itementry}
    定理:设\(\circ\)为\(S\)上的二元运算,\(e\)和\(\theta\)为\(\circ\)运算的单位元和零元,且\(S\)中至少有两个元素,则\(e\neq \theta\)
\end{itementry}

\begin{itementry}
    左逆元\&右逆元\&逆元\&可逆:设\(\circ\)为\(S\)上的二元运算,\(e\)为\(\circ\)运算的单位元,对于\(x\in S\),若存在\(y_l\in S\)(\(y_r\in S\)),使得\(y_l\circ x=e\)(\(x\circ y_r=e\)),则称\(y_l\)(\(y_r\))是\(x\)的左逆元(右逆元).若\(y\in S\)既是\(x\)的左逆元又是\(x\)的右逆元,则称\(y\)是\(x\)的逆元,且称\(x\)是可逆的
\end{itementry}

\begin{itementry}
    定理:设\(\circ\)是\(S\)上可结合的二元运算,对于\(x\in S\),若存在其左右逆元\(y_l,y_r\),则\(y_l=y_r=y\),且\(y\)是\(x\)唯一的逆元
\end{itementry}

\begin{itementry}
    消去律:设\(\circ\)为\(S\)上的二元运算,若对任意\(x,y,z\in S\),有
    \begin{theitem}
        \item 若\(x\circ y=x\circ z\)且\(x\neq\theta\),则\(y=z\)
        \item 若\(y\circ x=z\circ x\)且\(x\neq\theta\),则\(y=z\)
    \end{theitem}
    则称\(\circ\)满足消去律,其中1.称为左消去律,2.称为右消去律
\end{itementry}

\section{代数系统}

\begin{itementry}
    代数系统/代数:非空集合\(S\)和\(S\)上\(k\)个一元或二元运算\(f_1\dots,f_k\)组成的系统称为一个代数系统,简称为代数,记为\(\left<S,f_1,\dots,f_k\right>\)
\end{itementry}

\begin{itementry}
    代数常数/特异元素:单位元,零元等特定元素称为代数常数或特异元素
\end{itementry}

\begin{itementry}
    同类型:若两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统类型相同
\end{itementry}

\begin{itementry}
    半群:对于代数系统\(V=\left<S,\circ\right>\),其中\(\circ\)满足结合律,则称这个代数系统为半群
\end{itementry}

\begin{itementry}
    格:设有一代数系统\(V=\left<S,\circ,*\right>\),其中\(\circ\)和\(*\)是二元运算,且满足交换律,结合律,幂等律和吸收律,则称这个代数系统为格
\end{itementry}

\chapter{群与环}

略

\chapter{格和布尔代数}

略